Решение уравнения численными методами состоит из двух этапов:
• первый этап – отделение корня, отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка.
• второй – уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности. Отделить корень – значит указать такой отрезок [a, b], на котором содержится ровно один корень уравнения f(x) = 0.
Корень можно отделить аналитически и графически. Не существует алгоритмов отделения корня, пригодных для любых функций f(x) – невозможно для всего многообразия таких уравнений построить прямой метод. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения x0 . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня x1 , x2 ,...,xn . Если 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ {𝑥𝑛} = 𝑥точное , то говорят, что итерационный процесс сходится.
В целом, задача приближенного определение местоположения и вида интересующего нас корня – этапа отделения корней (нахождение грубых корней) может быть решена:
1. на заданном отрезке [a, b] вычисляется таблица значений функции с некоторым шагом h и определяются интервалы (i , i ) длиной h, на которых функция меняет знак (график функции пересекает ось Х), т.е. где находятся корни;
2. графическим методом: по построенной таблице строится график и аналогично определяются интервалы, на которых находятся корни.
Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.
Про отделение корней это все, дальше идет уже процесс решения. Вот теоремка про решение.
Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], т.е. f(α)∙f(β) < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, т.е. найдется хотя бы одно число ξ(α, β ) такое, что f(ξ) = 0.
Корень ξ заведомо будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β), т.е. если f'(x) > 0 (или f'(x) < 0) при α < x < β. Процесс определения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных точках x = a и x = b области существования решения.
SUMMARY ПО ВСЕМУ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ (в целом тут весь вопрос без воды)
Обобщим:
Если удастся подобрать такие a и b, что:
1. f(a) ∙ f(b) < 0;
2. f(x) – непрерывная на [a, b] функция;
3. f(x) – монотонная на [a, b] функция;
то можно утверждать, что на отрезке [a, b] корень отделен.
Условия 1–3 – достаточные условия отделения корня, т. е. если эти условия выполняются, то корень отделен, но невыполнение, например, условий 2 или 3 не всегда означает, что корень не отделен.
Предложенный метод поиска отрезка [a, b] – аналитический способ отделения корня. Корень можно отделить и графически.
Второй этап решения уравнения – уточнение корня. Уточнить корень – значит найти его приближенное значение с заданной погрешностью ε.