Отношение Рэлея (или коэффициент Рэлея) — это скалярная величина, связанная с матрицей и вектором, которая широко используется в линейной алгебре и численных методах. Оно определяется как отношение двух квадратичных форм, например, для матрицы A и ненулевого вектора x :
где (Ax, x) — скалярное произведение Ax и x, а (x, x) — норма вектора x .
Основные свойства и применение:
1. Собственные значения и теорема минимакс
Отношение Рэлея достигает своего минимума и максимума на собственных векторах матрицы A, соответствующих минимальному и максимальному собственным значениям соответственно. Это положено в основу теоремы Куранта-Фишера, которая связывает отношение Рэлея с собственными числами матрицы.
2. Алгоритмы вычисления собственных значений
Отношение Рэлея используется в итерационных методах, таких как метод Рэлея (метод обратной итерации с отношением Рэлея). Этот метод обладает высокой скоростью сходимости и позволяет находить собственные значения и векторы матриц, особенно в сочетании с другими подходами (например, QR-алгоритмом) .
3. Формализация в математических задачах
Для эрмитовых матриц отношение Рэлея позволяет оценить погрешность приближённых собственных значений. Ошибка в отношении Рэлея напрямую связана с близостью вектора к истинному собственному вектору .