42. Зазор между собственными значениями в матрице, алгоритмы со сдвигами.

Зазор между собственными значениями матрицы — это разность между двумя соседними собственными значениями (например,\lambda_i - \lambda_j). Он играет ключевую роль в устойчивости и скорости сходимости алгоритмов вычисления собственных значений. Чем больше зазор, тем проще отделить собственные значения друг от друга, что особенно важно для численных методов .

Алгоритмы со сдвигами (shifting) используют модификацию матрицы A на величину \sigma (например, A - \sigma I), чтобы сместить собственные значения на \lambda_i - \sigma, сохраняя собственные векторы неизменными. Этот подход позволяет фокусироваться на определённой части спектра или улучшать сходимость методов. Например, в методе QR со сдвигами выбор \sigma, близкого к \lambda_i, ускоряет вычисление близких собственных значений, особенно при малых зазорах между ними .

Для симметричных матриц алгоритм Ланцоша использует сдвиги для ускорения поиска собственных значений в разреженных матрицах. Здесь эффективность зависит от величины зазора: большие зазоры позволяют быстрее сходиться к точным решениям.

Таким образом, зазоры и сдвиги тесно связаны в задачах анализа матриц, где сдвиги служат инструментом для оптимизации работы с собственными значениями, особенно в сложных случаях с близкими значениями спектра.