56. Понятия согласованности, устойчивости, сходимости алгоритмов.

        Начиная со слайда 546

Невязка определяется как:
                        

  — коэффициенты метода, h — шаг дискретизации, а  — точное решение в точке

Если , то метод имеет порядок согласованности s . Число s называется порядком аппроксимации , а  — погрешностью дискретизации . Например, метод Эйлера имеет s=1, так как его невязка уменьшается пропорционально .

Схема устойчива, если небольшие ошибки в начальных данных или вычислениях не разрастаются бесконтрольно. Без устойчивости даже точная аппроксимация уравнения может дать неверные результаты из-за накопления ошибок. Формально, для двух решений 𝑢_ℎ^1 и 𝑢_ℎ^2 с возмущениями 𝜀_ℎ^1 и 𝜀_ℎ^2:

∥𝑢_ℎ^1 − 𝑢_ℎ^2∥    ≤   𝐶_1(∥𝜀_ℎ^1∥ + ∥𝜀_ℎ^2∥)

где:
        𝐶_1 - константа, не зависящая от ℎ

Пример:

Для 𝑑𝑢/𝑑𝑡 = −𝑢 метод Эйлера даёт 𝑢_{𝑛+1} = 𝑢_𝑛*(1−ℎ)

Условие устойчивости: |1−ℎ|<1 то есть ℎ<2. Если ℎ>2 решение начнёт расти, хотя точное решение 𝑢(t)=𝑒^{−𝑡} - убывает

Нуль-устойчивость (или нулевая устойчивость) проверяет, как метод ведёт себя в пределе h→0 , когда внешние возмущения отсутствуют. Она связана с характеристическим полиномом разностной схемы, который для линейного многошагового метода вида:
                

записывается как: