16. Стабильность и распространение ошибки в методах численного решения нелинейных уравнений.
Стабильность метода определяет, насколько он чувствителен к малым возмущениям (например, ошибкам округления или неточному начальному приближению).
Критерии стабильности:
- Устойчивость по начальным данным.
Если малое изменение начального приближения x0 приводит к малому изменению решения x*, метод устойчив. Пример: метод Ньютона устойчив (стабилен), если f `(x*)
0 и x0 достаточно близко к x*.
- Устойчивость к вычислительным ошибкам.
Ошибки округления не должны накапливаться сильно. Пример: метод простых итераций xk+1 = ϕ(xk) устойчив, если |ϕ`(x*)| < 1.
Распространение ошибок в различных методах численного решения нелинейных уравнений:
- Метод простых итераций:
xn+1 = ϕ(xn)
- Ошибка входных данных: если начальное приближение x0 содержит погрешность, то на каждой итерации ошибка может умножаться на |ϕ`(x*)|, где x* – точное решение.
- Нарушение условия сходимости: если |ϕ`(x)| < 1, то ошибка затухает, иначе – растёт.
- Накопление вычислительной ошибки: если функция чувствительна к малым изменениям x, ошибки могут со временем накапливаться.
- Метод Ньютона:

- Ошибка начального приближения: если x0 далеко от корня, метод может расходиться.
- Вычислительная ошибка: если f `(xn) близко к нулю, деление становится неустойчивым.
- Квадратичная сходимость: вблизи корня ошибка εn+1 ≈ Сε2n, но при наличии погрешностей округления скорость может ухудшаться.
- Метод секущих:

- Чувствительность к выбору x0, x1: если f(xn) ≈ f(xn-1), возникает деление на малую величину.
- Ускоренное накопление ошибки: поскольку метод использует два предыдущих значения, ошибки могут накапливаться быстрее, чем в том же методе Ньютона.