Локальные погрешности – погрешности, образовавшиеся на каждом шаге,
Глобальная (накопленная) погрешность – погрешность, образовавшаяся за несколько шагов.
Порядок глобальной погрешности относительно шага интегрирования на единицу ниже, чем порядок локальной погрешности. Таким образом, глобальная погрешность метода Эйлера имеет порядок p = 1: = C ∙ h, где C – некоторая постоянная.
Порядок численного метода для решения ОДУ определяется порядком его глобальной погрешности. Он может быть также определен, как количество вычислений значения производной f(x, y) искомой функции на каждом шаге. В соответствии с этим метод Эйлера является методом первого порядка.
Правило Симпсона – это численный метод приближённого вычисления определённых интегралов, основанный на квадратичной интерполяции подынтегральной функции. Его суть заключается в том, что вместо интегрирования исходной функции мы заменяем её на параболу, проведённую через три точки на равномерной сетке, и вычисляем площадь под этой параболой аналитически. Формула Симпсона для отрезка
[a,b] имеет вид:
.
Этот метод особенно эффективен, когда подынтегральная функция гладкая или её можно разбить на такие отрезки, где она ведёт себя почти как квадратичная. Правило Симпсона обеспечивает высокую точность — его погрешность имеет порядок O() для одного отрезка и O(
) для составного правила (где h — шаг разбиения), что значительно лучше методов прямоугольников или трапеций.
Применять его стоит, когда требуется высокая точность при относительно небольшом количестве вычислений, например, при интегрировании аналитических функций или в инженерных расчётах. Однако если функция имеет резкие колебания или разрывы, лучше использовать другие методы или предварительно разбивать интервал на части.
В более широком смысле "правило Симпсона" иногда называют принципом, что использование квадратичной аппроксимации часто даёт оптимальный баланс между точностью и вычислительными затратами. Отсюда возможная связь с анализом ошибок.
Ошибка сокращения (или ошибка усечения) возникает из-за приближённого характера численных методов, когда бесконечные процессы заменяются конечными или сложные функции — более простыми. Например, при вычислении производной с помощью разностной схемы отбрасываются старшие члены ряда Тейлора, что приводит к неточности. Эта ошибка зависит от выбранного метода и шага вычислений: чем точнее алгоритм и мельче шаг, тем она меньше.
Однако уменьшение шага может усилить другой тип погрешности — ошибку округления, связанную с конечной точностью представления чисел в компьютере. При выполнении арифметических операций (особенно при вычитании близких чисел или сложении значений сильно разного масштаба) младшие значащие разряды теряются из-за ограниченной разрядности мантиссы, что искажает результат.
Накопление ошибок – это процесс, при котором малые погрешности на каждом шаге алгоритма суммируются или усиливаются, приводя к значительному отклонению итогового значения. Например, при последовательном сложении тысяч чисел даже очень маленькие округления могут существенно изменить сумму.
Для борьбы с этим используют специальные алгоритмы, такие как алгоритм Кахана. Его идея заключается в отслеживании и компенсации потерянных из-за округления частей чисел. На каждом шаге кроме основного суммирования вычисляется "погрешность" – разница между тем, что должно было добавиться, и тем, что действительно добавилось с учётом ограниченной точности. Эта погрешность затем учитывается на следующей итерации. Таким образом, алгоритм Кахана значительно снижает ошибку накопления, особенно в задачах с большим количеством операций, например, при вычислении скалярных произведений или численном интегрировании.
Полностью устранить ошибки невозможно, но грамотный выбор методов (например, алгоритм Кахана для суммирования) позволяет минимизировать их влияние. Это особенно критично в долгих вычислениях, таких как решение дифференциальных уравнений или моделирование физических процессов, где накопленные погрешности могут привести к качественно неверным результатам.