26. Метод кубической сплайн-интерполяции.

Рассмотрим интерполяцию кубическими сплайнами 𝜙(IV)(𝑥) = 0 – группу сопряженных кубических многочленов, в местах сопряжения которых первая и вторая производные непрерывны. Чтобы построить кубический сплайн, необходимо задать коэффициенты, которые единственным образом определяют кубический многочлен в промежутке между данными точками. Если в качестве функции (x) выбрать полином, то степень полинома должна быть не выше третьей. Этот полином называют кубическим сплайном, который на каждом интервале записывают в виде: 𝑆𝑖(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥𝑖−1) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥𝑖−1)2 + 𝑎3(𝑥 − 𝑥𝑖−1)3 , где ai – коэффициенты сплайна; i = 1,2,..., – номер интервала (номер сплайна).

В отличие от полиномиальной интерполяции, когда вся аппроксимирующая функция описывается одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале строится отдельный полином (x) третьей степени со своими коэффициентами. Аппроксимирующая функция F(x) представляет собой последовательность сплайнов «сшитых» между собой в точках, соответствующих узловым значениям аппроксимируемой функции f(х). Для определения коэффициентов ai , bi , ci , di на всех n элементарных отрезках необходимо получить 4n уравнений. Эти уравнения получаются из следующих условий “сшивания” соседних сплайнов.

Для определения 4 х n коэффициентов имеются следующие условия в узлах интерполяции:

1. Условие интерполяции 𝑆(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖 , 𝑖 от 0 до n;

2. Непрерывность сплайнов 𝑆(𝑥𝑖 − 0) = 𝑆(𝑥𝑖 + 0), 𝑖 от 1 до 𝑛 − 1;

3. Непрерывность производных 1-го порядка 𝑆′(𝑥𝑖 − 0) = 𝑆′(𝑥𝑖 + 0), 𝑖 от 1 до 𝑛 − 1;

4. Непрерывность производных 2-го порядка 𝑆′′(𝑥𝑖 − 0)=𝑆′′(𝑥𝑖 + 0), 𝑖 от 1 до 𝑛 − 1;

5. 𝑆′′(𝑥0) = 0;

6. 𝑆′′(𝑥𝑛) = 0.

Непрерывность первой производной означает, что соседние сплайны в узловых точках имеют общую касательную. Непрерывность второй производной означает, что соседние сплайны в узловых точках имеют одинаковую кривизну. Эта система равенств содержит 2n – 2 уравнений. Кроме перечисленных условий, необходимо задать условия на концах отрезка, то есть в точках x0 и xn . В общем случае эти условия определяются конкретной задачей. Если за пределами интервала интерполяции экстраполирующая функция представляет собой прямую линию, то это линейная экстраполяция. Следовательно, исходя из условий непрерывности второй производной, запишем еще два равенства: 𝜙0′′(𝑥0) = 0 и 𝜙𝑛′′(𝑥𝑛) = 0 Если за пределами интервала интерполяции экстраполирующая функция представляет собой кубический или квадратический полином, то это кубическая или параболическая экстраполяция.