15. Скорость сходимости итерационного алгоритма.

Скорость сходимости итерационного алгоритма показывает, как быстро последовательность приближений {xk} стремится к решению x*. В численных методах выделяют несколько типов сходимости, каждый из которых характеризуется своей скоростью.

  1. Линейная сходимость.

Алгоритм сходится линейно, если существует константа C ∈ (0, 1) такая, что:

||xk+1 - x*|| ≤ C||xk - x*||.

Ошибка уменьшается в C раз на каждой итерации. Пример: метод простых итераций при |ϕ`(x*)| < 1.

  1. Сверхлинейная сходимость.

Сходимость сверхлинейная, если:

 = 0.

Ошибка уменьшается быстрее, чем линейно, но медленнее, чем квадратично. Пример: метод секущих.

  1. Квадратичная сходимость.

Алгоритм сходится линейно, если существует константа M > 0 такая, что:

||xk+1 - x*|| ≤ M||xk - x*||2.

Пример: метод Ньютона.

  1. Кубическая (и более высокая) сходимость.

Алгоритм сходится кубически, если существует константа K такая, что:

||xk+1 - x*|| ≤ K||xk - x*||3.

Пример: метод Хэлли.