16. Стабильность и распространение ошибки в методах численного решения нелинейных уравнений.

Стабильность метода определяет, насколько он чувствителен к малым возмущениям (например, ошибкам округления или неточному начальному приближению).

Критерии стабильности:

  1. Устойчивость по начальным данным.

Если малое изменение начального приближения x0 приводит к малому изменению решения x*, метод устойчив. Пример: метод Ньютона устойчив (стабилен), если f `(x*) 0 и x0 достаточно близко к x*.

  1. Устойчивость к вычислительным ошибкам.

        Ошибки округления не должны накапливаться сильно. Пример: метод простых итераций  xk+1 = ϕ(xk) устойчив, если  |ϕ`(x*)| < 1.

        Распространение ошибок в различных методах численного решения нелинейных уравнений:

  1. Метод простых итераций:

xn+1 = ϕ(xn)

  1. Метод Ньютона:

  1. Метод секущих: