41. Отношение Релея.

Отношение Рэлея (или коэффициент Рэлея) — это скалярная величина, связанная с матрицей и вектором, которая широко используется в линейной алгебре и численных методах. Оно определяется как отношение двух квадратичных форм, например, для матрицы A и ненулевого вектора  x :

 

где (Ax, x) — скалярное произведение Ax и x, а (x, x) — норма вектора x .

 Основные свойства и применение:

1. Собственные значения и теорема минимакс  

   Отношение Рэлея достигает своего минимума и максимума на собственных векторах матрицы A, соответствующих минимальному и максимальному собственным значениям соответственно. Это положено в основу теоремы Куранта-Фишера, которая связывает отношение Рэлея с собственными числами матрицы.

2. Алгоритмы вычисления собственных значений  

   Отношение Рэлея используется в итерационных методах, таких как метод Рэлея (метод обратной итерации с отношением Рэлея). Этот метод обладает высокой скоростью сходимости и позволяет находить собственные значения и векторы матриц, особенно в сочетании с другими подходами (например, QR-алгоритмом) .  

3. Формализация в математических задачах  

   Для эрмитовых матриц отношение Рэлея позволяет оценить погрешность приближённых собственных значений. Ошибка в отношении Рэлея напрямую связана с близостью вектора к истинному собственному вектору .