Пусть 𝑄∗𝐴𝑄 = 𝐻 верхне-гессенбергова форма матрицы. Тогда первый столбец матрицы 𝑄 определяет все остальные её столбцы. Он может быть найден из следующего уравнения: 𝐴𝑄 = 𝑄𝐻
Матрица 𝐴 имеет верхне-гессенбергову форму, если 𝑎_𝑖𝑗 = 0, при 𝑖 ≥ 𝑗 + 2.
С помощью отражений Хаусхолдера можно привести любую матрицу к верхнегессенберговой форме: 𝑈∗𝐴𝑈=𝐻.
Если матрица приведена к верхне-гессенберговой форме, то одна итерация QR алгоритма имеет сложность O(n^2) операций.
Также верхне-гессенбергова форма матрицы сохраняется после выполнения одной итерации QR алгоритма.