52. Фазовые портреты, особые точки.

Фазовый портрет – это графический способ представления всех возможных траекторий системы дифференциальных уравнений в фазовом пространстве. Он помогает понять поведение системы без необходимости решать уравнения аналитически.

Фазовое пространство – пространство состояний системы. Для системы из двух уравнений это двумерная плоскость, где оси соответствуют переменным системы (например, (x) и (y)).

Траектории – кривые, показывающие, как изменяется состояние системы со временем при разных начальных условиях.

Особые точки – состояния, где производные равны нулю. Они определяют устойчивость и тип поведения системы.

Примеры (в matploblib можно и не вставлять):

Что показывает фазовый портрет?
- Эволюцию системы во времени.
- Устойчивые и неустойчивые состояния.
- Типы поведения: колебания, затухание, рост.

Типы особых точек:
- Узел: траектории сходятся к точке (устойчивый узел) или расходятся от неё (неустойчивый узел).
- Фокус: траектории закручиваются в спираль (если к центру - то в устойчивую спираль, если от центра - то в неустойчивую).
- Седло: траектории приближаются по одним направлениям и удаляются по другим.